Polynôme sous forme factorisée

Trouver le minimum ou le maximum d'une fonction polynôme de degré 2 dans le cas où le polynôme est donné sous forme factorisée : \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\) avec \(a\ne 0\). \(x_{1}\) et \(x_{2}\) sont les racines du polynôme.

Formule : par raison de symétrie, l'abscisse \(x_{s}\) du sommet de la parabole (minimum ou maximum) est donnée par la relation : \(x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\).

Pour trouver la valeur du minimum ou du maximum, il faut calculer \(f(x_{s})\).

Exemple

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=-2(x+1)(x-3)\) sur l'intervalle \([-5{;}5]\).

• On détermine les racines du polynôme : \(x_{1}=-1\) et \(x_{2}=3\).
• On calcule l'abscisse du sommet de la parabole : \(x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1\).
• On calcule la valeur du maximum de la fonction : \(f(x_{s})=-2(1+1)(1-3)=-2\times 2\times(-2)=8\).